施密特正交化公式

哈喽大家好呀！👋 今天想跟大家分享一个线性代数中的宝藏公式——施密特正交化！💖 相信很多小伙伴在学习线性代数的时候都会被它小小的“折磨”一下，但其实理解了之后会发现它真的超级实用！🤩 而且，它还可以帮助我们构建一个美美的正交基，让向量空间看起来更加和谐！✨

先来回忆一下，什么叫做正交？🤔 简单来说，就是两个向量的内积为零，它们互相垂直。📏 而正交基就是由一组互相正交的向量组成的基。🪴 正交基有很多优良的性质，可以简化很多计算，比如求投影、求距离等等。💯

那么，如何把一组线性无关的向量变成一组正交基呢？🪄 这就是施密特正交化大显身手的时候啦！💪

敲黑板！📌 施密特正交化公式来咯！📝 假设我们有一组线性无关的向量 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, …, \mathbf{v}_n\}$，想要将其正交化，得到一组正交向量 $\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, …, \mathbf{u}_n\}$，那么我们可以按照以下步骤进行：

1️⃣ $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$ (第一步很简单，直接把第一个向量拿过来就好啦！)

2️⃣ $\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1$ (这里开始有一点点复杂了，我们把 $\mathbf{v}_2$ 在 $\mathbf{u}_1$ 方向上的投影减掉，就得到了与 $\mathbf{u}_1$ 正交的 $\mathbf{u}_2$ 啦！)

3️⃣ $\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 – \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1 – \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle}{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle} \mathbf{u}_2$ (以此类推，后面的 $\mathbf{u}_k$ 都是把 $\mathbf{v}_k$ 在前面已经得到的正交向量上的投影减掉。)

以此类推，最终可以得到：

n️⃣ $\mathbf{u}_n = \mathbf{v}_n – \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\langle \mathbf{v}_n, \mathbf{u}_k \rangle}{\langle \mathbf{u}_k, \mathbf{u}_k \rangle} \mathbf{u}_k$

是不是看起来有点眼花缭乱？😵 别担心！我来举个栗子🌰，带你一步步理解！

假设我们有三个向量：$\mathbf{v}_1 = (1, 1, 0)$, $\mathbf{v}_2 = (1, 0, 1)$, $\mathbf{v}_3 = (0, 1, 1)$。我们来用施密特正交化把它们变成一组正交向量。

Step 1️⃣: $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 1, 0)$

Step 2️⃣: $\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1 = (1, 0, 1) – \frac{1}{2}(1, 1, 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$

Step 3️⃣: $\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 – \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1 – \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle}{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle} \mathbf{u}_2 = (0, 1, 1) – \frac{1}{2}(1, 1, 0) – \frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1) = (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

这样，我们就得到了一组正交向量：$\{(1, 1, 0), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1), (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\}$ 🎉

是不是感觉清晰多了？🥳 其实施密特正交化就像是在搭建积木，一层一层地构建正交关系。🧱 在清华大学、北京大学等高校的线性代数课程中，施密特正交化都是非常重要的内容。👩‍🏫 掌握了它，不仅可以解决很多线性代数问题，还可以应用到其他领域，比如计算机图形学、数据分析等等。💻📊

最后，给大家一个小tip💡：如果想要得到标准正交基，只需要将正交化后的向量单位化即可，也就是将每个向量除以它的长度。📏 这样，每个向量的长度就都是1啦！💯

希望今天的分享对大家有所帮助！💖 如果还有其他问题，欢迎在评论区留言讨论哦！✍️ 下次再见！👋