圆锥曲线二级结论大全

📚圆锥曲线二级结论大全💯 | 高中数学解题杀手锏🔪

🤔还在为圆锥曲线大题抓耳挠腮？🤯 别慌！今天给大家带来一份超级详细的圆锥曲线二级结论整理！🎉 掌握这些，解题速度🚀蹭蹭往上涨！再也不怕考试时间不够啦！😎

Part 1：椭圆篇 💖

1. 焦点三角形面积公式：

   • S△PF1F2 = b²tan(θ/2) (其中θ为∠F1PF2，P为椭圆上一点，F1、F2为焦点)
   • 再也不用辛辛苦苦算底和高啦！📐直接套公式！

2. 焦点弦长公式：

   • |AB| = (2ab²)/(a²sin²α + b²cos²α) (α为直线AB的倾斜角)
   • 或者 |AB| = 2a(1-e²)/(1-e²cos²θ)，其中θ为焦点弦与对称轴的夹角.
   • 看到焦点弦，直接秒！⚡️

3. 光学性质：

   • 从一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过另一个焦点。✨
   • 物理好的同学，这个结论简直是送分！🎁

4. 通径：

   • 过焦点且垂直于长轴的弦，长度为 2b²/a。📏
   • 最“短”的焦点弦！

5. 准线：

   • 椭圆上一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率e。📍
   • 离心率e的定义，完美体现！

6. 焦半径公式：

   • 设P(x0,y0)是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上任一点, F1,F2分别是其左,右焦点,则 |PF1|=a+ex0; |PF2|=a-ex0.
   • 快速计算点到焦点的距离!

7. 切线方程:

   • 椭圆 x²/a²+y²/b²=1 上一点 P(x0, y0) 处的切线方程为: x0x/a² + y0y/b² = 1.
   • 记住这个形式，直接代入！

8. 共轭直径:
   如果椭圆的一条直径平分一组平行弦, 那么这条直径的共轭直径(指过椭圆中心且平行于该组平行弦的直径)也平分前一条直径所平分的那一组平行弦。

9. 离心率范围：0 < e < 1。

10. 最大值最小值问题:

11. 椭圆上的点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c.
12. 椭圆上的点到同一条准线的距离最大值为a²/c+c，最小值为a²/c-c

Part 2：双曲线篇 💜

1. 焦点三角形面积公式：

   • S△PF1F2 = b²cot(θ/2) (其中θ为∠F1PF2，P为双曲线上一点，F1、F2为焦点)
   • 和椭圆的公式很像，但是要注意是cot！

2. 焦点弦长公式：

   • |AB| = (2ab²)/(|a²sin²α – b²cos²α|) (α为直线AB的倾斜角)
   • 与椭圆弦长公式对比记忆!

3. 光学性质：

   • 从一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点。🌟

4. 通径：

   • 过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 2b²/a。📏
   • 和椭圆一样!

5. 准线：

   • 双曲线上一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率e。📍
   • 同样是离心率e的定义！

6. 焦半径公式：

   • 设P(x0,y0)是双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)上任一点, F1,F2分别是其左,右焦点,则
     • 若P在右支上,则|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a;
     • 若P在左支上,则|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.

7. 切线方程:

   • 双曲线 x²/a²-y²/b²=1 上一点 P(x0, y0) 处的切线方程为: x0x/a² – y0y/b² = 1.
   • 与椭圆对比记忆, 注意符号!

8. 渐近线方程：

   • 双曲线 x²/a² – y²/b² = 1 的渐近线方程为 y = ±(b/a)x。
   • 快速判断双曲线的“张开程度”！

9. 离心率范围：e > 1。

10. 等轴双曲线：

    • 实轴和虚轴相等的双曲线, 渐近线方程为 y=±x, 离心率e=√2。

11. 共轭双曲线：

    • 双曲线 x²/a²-y²/b²=1 与 y²/b²-x²/a²=1 互为共轭双曲线, 它们有共同的渐近线。

Part 3：抛物线篇 💚

1. 焦点弦长公式：

   • 对于抛物线 y² = 2px (p>0)，过焦点的弦长 |AB| = x1 + x2 + p = p/sin²α (α为直线AB的倾斜角)
   • 对于抛物线 x² = 2py (p>0)，过焦点的弦长 |AB| = y1 + y2 + p = p/cos²α (α为直线AB的倾斜角)
   • 抛物线焦点弦长公式，简单粗暴！💪

2. 光学性质：

   • 从焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。🔦
   • 应用：探照灯、雷达等。📡

3. 焦点坐标：

   • y² = 2px (p>0) 的焦点坐标为 (p/2, 0)
   • x² = 2py (p>0) 的焦点坐标为 (0, p/2)
   • 记住焦点位置，画图更准确！✏️

4. 准线方程：

   • y² = 2px (p>0) 的准线方程为 x = -p/2
   • x² = 2py (p>0) 的准线方程为 y = -p/2
   • 焦点和准线，总是“相爱相杀”！😂

5. 通径：

   • 过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为 2p。📏
   • 抛物线只有一个“通径”！

6. 焦半径公式：

   • 设P(x0,y0)是抛物线y²=2px(p>0)上任一点,F是焦点,则|PF|=x0+p/2.
   • 设P(x0,y0)是抛物线x²=2py(p>0)上任一点,F是焦点,则|PF|=y0+p/2.

7. 切线方程:

   • 抛物线 y²=2px 上一点 P(x0, y0) 处的切线方程为: y0y = p(x + x0).
   • 抛物线 x²=2py 上一点 P(x0, y0) 处的切线方程为: x0x = p(y + y0).

8. AB为抛物线的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

   • y1y2=-p², x1x2=p²/4.
   • 这个结论在很多题目中都有妙用!

9. 离心率：e = 1.

10. 抛物线焦点弦的几何平均性质:

    • 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

Part 4：通用结论 & 技巧 💡

1. 弦长公式 (通用)：

   • |AB| = √[(1+k²)(x1-x2)²] = √[(1+1/k²)(y1-y2)²] (k为直线AB的斜率)
   • 万能弦长公式，所有圆锥曲线通用！💯

2. 韦达定理：

   • 直线与圆锥曲线联立，消元后得到一元二次方程，利用韦达定理快速求出 x1+x2, x1x2, y1+y2, y1y2。
   • 几乎所有圆锥曲线大题都会用到！

3. 点差法：

   • 解决弦中点问题，设出弦的两个端点坐标，代入圆锥曲线方程，两式相减，巧妙利用中点坐标公式和斜率公式。
   • 中点弦问题的克星！⭐

4. 联立方程组:
   遇到直线与圆锥曲线相交问题时，通常需要将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个关于 x 或 y 的一元二次方程。然后利用判别式、韦达定理、弦长公式等进行求解。

5. 数形结合:
   画出图形能够帮助更直观地理解题目，找到解题思路。

Part 5：考场实战案例 🏆

以石家庄市第一中学的一次模拟考试为例：已知椭圆 C：x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1, F2，离心率为 √3/2，过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.

(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 AF2, BF2 分别交椭圆 C 于 M, N 两点，证明直线 MN 与 x 轴垂直。

解题思路：

(1) 利用通径和离心率的定义，可以直接求出 a 和 b，进而得到椭圆方程。
(2) 利用点差法，设出 A, B, M, N 的坐标，分别表示出 AF2, BF2 的直线方程，再与椭圆方程联立，运用韦达定理，最终可以证明直线 MN 的斜率不存在，即直线 MN 与 x 轴垂直。

👏 掌握了这些二级结论和解题技巧，相信大家在面对圆锥曲线大题时都能游刃有余！👍 加油！💪 一定要多练习，熟能生巧！💯