分块矩阵行列式怎么求

分块矩阵的行列式，听起来就头大。很多教科书上直接扔一个公式，看得人云里雾里。其实没那么玄乎。咱们今天就像聊天一样，把这事儿给捋清楚。

咱们先从最简单的情况说起。想象一个分块矩阵 M 长这样：

M =
[ A B ]
[ 0 D ]

这里 A 和 D 都是方阵，B 可以是任意尺寸的矩阵，而左下角的那个 0 是一个零矩阵。

这种情况最友好。它的行列式就是 A 的行列式乘以 D 的行列式。

det(M) = det(A) * det(D)

为什么能这么简单？你可以把它类比成一个普通的 2×2 矩阵的行列式计算，但又不完全一样。一个直观的理解是，当你用拉普拉斯展开或者高斯消元法去求行列式时，左下角的零矩阵让 A 和 D 两部分的操作完全分开了。你在对 A 的行进行操作时，不会影响到 D 的部分。同样，对 D 的行进行操作，也不会“污染”到 A。它们俩是“解耦”的。所以最后的结果就是各算各的，再乘起来。

同样，如果右上角是零矩阵，结论也一样：

M =
[ A 0 ]
[ C D ]

det(M) = det(A) * det(D)

道理是相通的。记住这个特例，因为这是后面所有复杂情况的基础。有时候题目就是这么出的，你一上来就套用复杂公式，结果发现人家本来就是个零矩阵的特例，白费力气。

好，简单的说完了，现在上难度。如果四个块都不是零矩阵呢？

M =
[ A B ]
[ C D ]

这时候，你可能会下意识地想，是不是 det(M) = det(A)det(D) – det(B)det(C)？

千万别这么想！这是最容易犯的错误。

这个公式是普通 2×2 矩阵的规则，但对分块矩阵完全不适用。因为矩阵乘法不满足交换律，而且 B 和 C 可能都不是方阵，它们的行列式甚至都没有定义。这个坑很多人都踩过，包括我刚学的时候。

正确的做法是，想办法把它变回我们刚才说的“简单情况”，也就是搞出一个零矩阵出来。这就要用到一点构造性的技巧了。

假设 A 是可逆的（也就是 det(A) ≠ 0）。这是使用下面这个方法的关键前提。

我们可以用一个特殊的矩阵去乘 M，目标是把左下角的 C 消掉。你看这个矩阵：

L =
[ I 0 ]
[ -CA⁻¹ I ]

这里 I 是单位矩阵，A⁻¹ 是 A 的逆矩阵。我们用 L 去乘以 M：

L * M =
[ I 0 ] [ A B ] = [ IA + 0C IB + 0D ]
[ -CA⁻¹ I ] * [ C D ] [ -CA⁻¹A + IC -CA⁻¹B + ID ]

我们来算一下结果的四个块：
– 左上角：IA + 0C = A
– 右上角：IB + 0D = B
– 左下角：-CA⁻¹A + IC = -C + C = 0 （这正是我们想要的结果！）
– 右下角：-CA⁻¹B + ID = D – CA⁻¹B

所以，乘完之后，新矩阵变成了：

L * M =
[ A B ]
[ 0 D – CA⁻¹B ]

你看，这不就回到了我们最开始说的左下角是零矩阵的简单情况了吗？

根据行列式的性质，det(L * M) = det(L) * det(M)。
我们先算 det(L)。因为 L 是一个下三角分块矩阵，它的行列式就是对角线上块的行列式相乘，也就是 det(I) * det(I) = 1 * 1 = 1。

所以，det(L * M) = det(M)。

而对于 L * M 这个结果矩阵，我们已经知道怎么算了：
det(L * M) = det(A) * det(D – CA⁻¹B)

结合上面两个等式，我们就得到了最终的公式：

det(M) = det(A) * det(D – CA⁻¹B)

这个 D - CA⁻¹B 有个专门的名字，叫作 A 的舒尔补 (Schur complement)。

这个公式就是处理一般情况的“法宝”。前提是 A 必须可逆。

那如果 A 不可逆，但是 D 可逆呢？
完全一样的思路，只是我们这次想办法把右上角的 B 消掉。我们可以构造一个上三角分块矩阵去右乘 M：

R =
[ I -BD⁻¹ ]
[ 0 I ]

你用 M * R 算一下，会得到：

M * R =
[ A – BD⁻¹C 0 ]
[ C D ]

这是一个右上角是零矩阵的情况。同样，det(R) = 1，所以 det(M * R) = det(M)。
于是我们得到另一个公式：

det(M) = det(D) * det(A – BD⁻¹C)

这个 A - BD⁻¹C 则是 D 的舒尔补。

总结一下，你拿到一个分块矩阵，想求行列式，步骤是这样的：

1. 先检查特例。看看左下角或者右上角是不是零矩阵。如果是，直接 det(A) * det(D) 完事，这是最快的。
2. 如果不是特例，检查 A 和 D 哪个可逆。
3. 如果 A 可逆，就用公式 det(M) = det(A) * det(D - CA⁻¹B)。你需要先求 A 的逆，然后做几次矩阵乘法和减法，得到舒尔补 D - CA⁻¹B，再算这个舒尔补的行列式，最后和 det(A) 乘起来。
4. 如果 D 可逆（A 可能不可逆），就用公式 det(M) = det(D) * det(A - BD⁻¹C)。过程类似，只是换了一套计算。
5. 如果 A 和 D 都可逆，上面两个公式你随便选一个用。通常选阶数比较低的那个来求逆，能省点计算量。

如果 A 和 D 都不可逆，情况就变得复杂了，通常需要用其他方法，比如直接进行高斯消元，或者使用更广义的公式，但在大多数考试和应用里，基本都至少有一个是可逆的。

我们来走一个实际的例子。比如求下面这个 4×4 矩阵 M 的行列式：

M =
[ 2 1 | 1 0 ]
[ 1 1 | 2 1 ]

[ 1 0 | 1 1 ]
[ 0 1 | 1 2 ]

我们可以把它分成四个 2×2 的块：
A = [[2, 1], [1, 1]]
B = [[1, 0], [2, 1]]
C = [[1, 0], [0, 1]] (恰好是单位矩阵 I)
D = [[1, 1], [1, 2]]

第一步，检查 A 是否可逆。
det(A) = 21 – 11 = 1。不等于零，所以 A 可逆。我们可以用第一个公式。

第二步，求 A 的逆矩阵 A⁻¹。
对于 2×2 矩阵 [[a, b], [c, d]]，它的逆是 (1/det) * [[d, -b], [-c, a]]。
所以 A⁻¹ = (1/1) * [[1, -1], [-1, 2]] = [[1, -1], [-1, 2]]。

第三步，计算舒尔补 S = D - CA⁻¹B。
– 先算 A⁻¹B：
[[1, -1], [-1, 2]] * [[1, 0], [2, 1]] = [[11-12, 10-11], [-11+22, -10+21]] = [[-1, -1], [3, 2]]
– 再算 CA⁻¹B。因为 C 是单位矩阵，所以 CA⁻¹B = A⁻¹B。
CA⁻¹B = [[-1, -1], [3, 2]]
– 最后算 D - CA⁻¹B：
[[1, 1], [1, 2]] – [[-1, -1], [3, 2]] = [[1-(-1), 1-(-1)], [1-3, 2-2]] = [[2, 2], [-2, 0]]

第四步，计算舒尔补 S 的行列式。
det(S) = det([[2, 2], [-2, 0]]) = 20 – 2(-2) = 4。

第五步，用公式 det(M) = det(A) * det(S)。
det(M) = 1 * 4 = 4。

这样就算完了。整个过程虽然步骤多，但每一步都是基础的矩阵运算，只要你跟着逻辑走，就不会出错。关键是别记错公式，也别把矩阵乘法的顺序搞反了。CA⁻¹B 就是 C 乘以 A⁻¹ 再乘以 B，顺序不能换。