伴随矩阵的秩与原矩阵的秩的关系

咱们直接聊聊伴随矩阵的秩，以及它和原来那个矩阵的秩到底是什么关系。这事儿在学线性代数的时候，很多人都觉得有点绕，但其实把它拆开来看，逻辑非常清楚。

首先，得把最根本的那个公式摆出来，后面所有的讨论都离不开它。对于一个 n 阶方阵 A，它和它的伴随矩阵 A* 之间，有这么一个关系：

A * A = A * A = |A| * E

这里，|A| 是 A 的行列式，是个数值。E 是 n 阶单位矩阵。这个公式是证明一切的基石，一定要记牢。

好了，有了这个工具，我们就可以分情况来讨论了。矩阵的秩就那么几种可能，我们一个一个来看。假设我们的矩阵 A 是 n x n 的。

第一种情况：当 A 的秩 rank(A) = n

这种情况最简单。一个 n 阶方阵的秩是 n，这说明什么？说明这个矩阵是满秩的。满秩矩阵就意味着它是可逆的，而且它的行列式 |A| 不等于 0。

既然 |A| ≠ 0，我们就可以把上面那个核心公式 A * A* = |A| * E 两边都除以 |A|。
这么一除，就得到：

A * (A* / |A|) = E

这个形式你肯定眼熟。根据可逆矩阵的定义，如果 A 乘以一个矩阵等于单位矩阵 E，那那个矩阵就是 A 的逆矩阵 A⁻¹。
所以，我们能直接得出结论：

A⁻¹ = A* / |A|

稍微变一下形，就是：

A* = |A| * A⁻¹

现在我们来分析 A 的秩。在这个等式里，|A| 是一个不为零的常数。一个矩阵乘以一个不为零的常-数，它的秩是不会变的。比如你把一个矩阵所有元素都乘以 2，它的线性无关的行（或列）的数量还是那么多。
所以，A 的秩就等于 A⁻¹ 的秩。

那 A⁻¹ 的秩是多少呢？A 是可逆的，它的逆矩阵 A⁻¹ 当然也是可逆的。一个可逆的 n 阶矩阵，秩必须是 n。如果你不信，可以反过来想，如果 A⁻¹ 的秩小于 n，它就不是满秩，那它就不可能有逆矩阵，但我们知道它的逆矩阵就是 A，这就矛盾了。

所以，当 rank(A) = n 时，rank(A⁻¹) = n，因此 rank(A*) = n。

结论一：如果 A 是满秩矩阵，那么它的伴随矩阵 A* 也是满秩的。秩都是 n。
这个很简单，满秩对满秩。

第二种情况：当 A 的秩 rank(A) = n – 1

这是最关键，也是最常考的一种情况。
当 rank(A) = n – 1 时，说明 A 不是满秩了。根据行列式的性质，不满秩的方阵，它的行列式 |A| 必然等于 0。

我们再把那个核心公式拿出来： A * A* = |A| * E
因为 |A| = 0，这个公式就变成了：

A * A* = 0 * E = O （这里 O 是零矩阵）

这个式子 A * A = O 告诉我们一个很重要的信息。它说明，A 的每一个列向量，都是方程组 Ax = 0 的解。
我们把 A 按列拆开，写成 [α₁, α₂, …, αₙ]，这里的 αᵢ 都是 A 的列向量。那么 A * A = O 就意味着 A * αᵢ = 0 对所有的 i 都成立。
这说明，A 的所有列向量都位于 A 的零空间（也就是 Ax = 0 的解空间）里。

现在问题变成了，A 的零空间的维度是多少？
这里就要用到另一个线性代数的基础工具：秩-零度定理。
对于 n 阶方阵 A，它的秩和它的零空间维度（也叫零度）加起来等于 n。
也就是：rank(A) + nullity(A) = n。

我们现在这个情况是 rank(A) = n – 1。
代入公式： (n – 1) + nullity(A) = n
解出来，nullity(A) = 1。

这说明 A 的零空间是一个一维空间。
一个一维空间是什么概念？就是这个空间里所有的向量，都可以由一个非零的基础向量通过数乘得到。说白了，这个空间里所有的向量都共线。

我们刚才说了，A 的所有列向量都在这个一维的零空间里。
这就意味着，A 的所有列向量要么是零向量，要么都互相平行（共线）。

那么，A 会不会是零矩阵呢？如果是零矩阵，那它的秩就是 0。
我们回头看看伴随矩阵 A 是怎么定义的。A 的每一个元素 Aᵢⱼ，是 A 的代数余子式。代数余子式本质上是 A 的一个 n-1 阶子矩阵的行列式（再乘以一个正负号）。
因为我们已经知道 rank(A) = n – 1，这恰恰说明，A 至少存在一个 n-1 阶的子式不为零。
只要有一个 n-1 阶子式不为零，就意味着至少有一个代数余子式不为零。
所以，A 矩阵里至少有一个元素不为零。

因此，A 绝对不是零矩阵。它的秩 rank(A) ≥ 1。

好了，我们把两边的信息汇总一下：
1. A 不是零矩阵。
2. A 的所有列向量都共线。

一个矩阵，它不是零矩阵，而且所有列向量都共线，它的秩是多少？
答案必然是 1。
因为只要有一个列向量不是零向量，其他的列向量都可以由它表示出来，所以线性无关的列向量只有一个。

结论二：如果 A 的秩是 n – 1，那么它的伴随矩阵 A* 的秩一定是 1。

第三种情况：当 A 的秩 rank(A) < n – 1

这种情况比第二种还要简单。
当 rank(A) < n – 1 时，意味着 A 中所有 n-1 阶子式的行列式都等于 0。
这是矩阵秩的一个重要性质：如果一个矩阵的秩是 r，那么它所有的 r+1 阶以及更高阶的子式行列式都为 0。
在我们这个情况里，r < n – 1，所以 r+1 ≤ n-1。这意味着，所有 n-1 阶子式的行列式都为 0。

再回想一下伴随矩阵 A* 的构成。它的每一个元素，都是 A 的一个代数余子式。而代数余子式，就是 n-1 阶子式的行列式再乘个正负号。
既然所有 n-1 阶子式都是 0，那 A 的所有代数余子式也都是 0。
一个矩阵的所有元素都是 0，那它就是零矩阵。

所以，在这种情况下，A* = O (零矩阵)。
零矩阵的秩，毫无疑问，是 0。

结论三：如果 A 的秩小于 n – 1，那么它的伴随矩阵 A* 就是零矩阵，秩为 0。

到这里，所有情况都讨论完了。我们来汇总一下这三个结论，这就是伴随矩阵和原矩阵秩的完整关系（假设 n ≥ 2）：

• 如果 rank(A) = n，那么 rank(A*) = n。
• 如果 rank(A) = n – 1，那么 rank(A*) = 1。
• 如果 rank(A) < n – 1，那么 rank(A*) = 0。

你看，整个推导过程没有用什么高深的东西，就是把定义和几个核心的定理（AA=|A|E、秩-零度定理、秩和子式的关系）串联起来。只要逻辑链条是清晰的，一步一步往下走，结果自然就出来了。以后再碰到这类问题，就按这三个情况去套，准没错。